Родился 20 ноября 1914 года в селе Волфино, ныне Глушковского района Курской области, в семье крестьянина. Окончил тракторный техникум. В 1935 году был призван в ряды Красной Армии, окончил военную авиационную школу лётчиков и лётчиков - наблюдателей в 1938 году.

Участник Советско - Финляндской войны 1939 - 1940 годов. За мужество и отвагу, проявленные в боях с белофинами, награждён орденом Красной Звезды.

С июня 1941 года Лейтенант Е. А. Азаров на фронтах Великой Отечественной войны. Был командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи.

21 июля 1944 года в воздушном бою над посёлком Седлище – Полоцк (Польша), командир эскадрильи 19-го истребительного авиационного полка   ( 6-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт )  Капитан Е. А. Азаров таранил истребитель противника, сам приземлился на парашюте. К августу 1944 года совершил 339 боевых вылетов, провёл 101 воздушный бой и уничтожил 15 самолётов противника.

19 августа 1944 года за мужество и воинскую доблесть, проявленные в боях с врагами, удостоен звания Героя Советского Союза.

Всего выполнил около 400 успешных боевых вылетов. Проведя более 100 воздушных схваток, уничтожил 13 самолётов противника лично и 7 - в группе с товарищами.

С 1946 года Майор Е. А. Азаров - в запасе. Жил в городе Пушкино Московской области. Работал ювелиром в артели инвалидов войны "Московский часовщик". Умер 26 Января 1957 года.

Награждён орденами: Ленина, Красного Знамени ( трижды ), Суворова 3-й степени, Красной Звезды; медалями.