Родился 20 декабря 1918 года в деревне Тропино Томского уезда Томской губернии, ныне в составе Коченёвского района Новосибирской области. Окончил 7 классов. В конце 1931 года переехал в город Прокопьевск Западно-Сибирского края (ныне в составе Кемеровской области). С 1935 года трудился электромонтёром на шахте «Коксовая-2». В 1937 году был призван в Красную Армию на срочную службу Прокопьевским районным военкоматом Новосибирской области. В начале 1939 года демобилизован. С февраля 1939 года работал электрослесарем на шахте имени В.М. Молотова в Прокопьевске.
После начала Великой Отечественной войны, 26 сентября 1941 года, был повторно призван в Красную Армию Прокопьевским военкоматом. В действующей армии - с сентября 1941 года. Был неоднократно ранен в боях. Каждый раз после выздоровления возвращался в строй. Неоднократно отличался в боях. Был награждён двумя медалями «За отвагу».
За образцовое выполнение боевых заданий Командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство указом Президиума Верховного Совета от 27 февраля 1945 года сержанту Дюжеву Михаилу Константиновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В ноябре 1945 года старший сержант М.К. Дюжев демобилизован. Окончил Кемеровскую областную партийную школу. Жил в городе Прокопьевск Кемеровской области. Работал на шахте «Коксовая-2» заместителем секретаря партийной организации; с декабря 1960 года до конца жизни трудился машинистом холодильных установок магазина № 68 ОРСа треста «Прокопьевскуголь».
Скончался 18 января 1972 года. Похоронен в Прокопьевске на Усятском кладбище.
Награждён орденами Ленина (27.02.1945), Красной Звезды (10.03.1945), двумя медалями «За отвагу» (16.08.1942, 28.11.1943), другими медалями.
В Прокопьевске именем Героя названа улица (1986), на административном здании шахты «Ноградская» (бывшая «Коксовая-2») установлена мемориальная доска. Имя Героя высечено на мемориале в Прокопьевске и на Монументе Славы в Новосибирске